مفاهیم ابتدایی تابع

تابع به عنوان یک ماشین

به شکل‌های مختلفی می‌توان مفهوم تابع در ریاضی را بیان کرد. یکی از ملموس‌ترین روش‌ها، در نظر گرفتن تابع به عنوان یک ماشین است.

ماشین وسیله ای است که چیزی را به عنوان ورودی دریافت کرده، عملی بر روی ورودی انجام داده و سپس حاصل را به عنوان خروجی بیرون می‌دهد.

 

مثال‌های زیادی در محیط اطراف ما وجود دارد که نوعی ماشین هستند:

  • یک کامپیوتر اطلاعات مربوط به نمرات درسی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند. سپس آنها را پردازش می‌کند. در نهایت میانگین دانش‌آموز را به عنوان خروجی بیرون می‌دهد.
  • یک لامپ انرژی الکتریکی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند. به عنوان خروجی نور می‌دهد.
  • آسیاب گندم را به عنوان ورودی دریافت و آرد را به عنوان خروجی می‌دهد.
  • نانوایی آرد را به عنوان ورودی دریافت و به عنوان خروجی نان تولید می‌کند.
  • یک کارخانه میخ‌سازی، آهن را به عنوان ورودی دریافت و میخ را به عنوان خروجی تولید می‌کند.

تابع ریاضی هم دقیقاً همین کار را انجام می‌دهد. فقط در ریاضی، تابع ماشینی است که به ازای هر ورودی، دقیقاً یک خروجی تولید می‌کند. اگر بیش از یک خروجی تولید کند، دیگر تابع محسوب نمی‌شود.

در ریاضی تابع را با حروف کوچک انگلیسی نشان می‌دهند.

 

مثال: فرض کنید اگر ورودی بالای 5 بود، خروجی دو برابر ورودی باشد. اگر بین 0 تا 5 بود، خروجی 2 باشد و اگر ورودی کمتر از 0 بود، خروجی قرینه ورودی باشد. در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x) = \left\{\begin{matrix}2x & x > 5\\ 2 & 0 < x < 5\\ -x & x < 0\end{matrix}\right.

مثال: فرض کنید می خواهیم ماشینی داشته باشیم که هر عددی را که به عنوان ورودی پذیرفت، آن را به توان سه رسانده، با یک جمع کرده و حاصل را به عنوان خروجی تولید کند. در اینصورت، ضابطه تابع به صورت زیر است:

f(x) = x^{3} + 1

مثال: ضابطه \left |f(x) \right | = x یک تابع نیست. زیرا به ازای هر ورودی x، یک خروجی تولید نمی کند. مثلا به ازای x = 1 مقدار f(x) برابر با 1 و 1- است 

 

 

تابع به عنوان یک رابطه

در زندگی روزمره کلمه رابطه را خیلی زیاد به کار می‌بریم. مثلاً بیماری‌های قلبی با وزن بدن رابطه دارد. یعنی کم یا زیاد شدن وزن بدن، بر میزان ابتلا به بیماری‌های قلبی اثر می‌گذارد.

تابع هم نوعی رابطه است. مجموعه ورودی را به مجموعه خروجی ربط می‌دهد. فقط تنها شرط این رابطه اینست که هر عضو از مجموعه ورودی تنها به یک عضو از مجموعه خروجی ربط داده شود.

وقتی به تابع به عنوان یک رابطه نگاه کنیم.

تابع، ضرب دکارتی و زوج مرتب

ضرب دکارتی بین دو مجموعه برابر است با مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب که مؤلفه اول هر زوج از مجموعه اول، و مؤلفه دوم هر زوج از مجموعه دوم باشد. به زبان ریاضی، ضرب دکارتی را به صورت زیر می‌نویسیم:

A\times B=\left \{ \left. (x,y)| x\in A, y\in B \right \} \right.

تابع، زیرمجموعه‌ای از ضرب دکارتی دو مجموعه است. فقط تنها شرط آن اینست که اگر مؤلفه اول دو زوج مرتب برابر باشد، باید مؤلفه دوم آنها هم برابر باشد. یعنی از یک ورودی، بیش از یک خروجی ایجاد نشود.

f = \left \{ (x,y)\in A \times B | x_{1}=x_{2}\Rightarrow y_{1}=y_{2} \right \}

 

مثال: مجموعه‌های A و B را به صورت زیر در نظر بگیرید:

A = \left \{ 1, 2, 3 \right \}

B = \left \{ 4, 5, 6 \right \}

ضرب دکارتی دو مجموعه برابر است با:

A \times B = \left \{ (1,4) (1,5) (1,6) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) \right \}

در این صورت مجموعه‌ زیر تابعی از مجموعه A به مجموعه B است:

f = \left \{ (1,4) (2,4) (3,6) \right \}

و مجموعه زیر تابع نیست. چون دو زوج مرتب هست که مؤلفه اول یک است ولی مؤلفه دوم متفاوت است:

g = \left \{ (1,3) (1,4) (2,5) \right \}